Operaciones con Proposiciones

Así como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números, en lógica  se estudian operaciones entre proposiciones.

LA NEGACIÓN

La negación de una proposición p se escribe “~ p” y se lee “no p” ó “no es cierto que p” ó “es falso que p” y es otra proposición que niega que se cumpla p.

p          ~ p        V      F      F      V

Ejemplo:Sea la proposición:   p: 4 x 5 = 20                             (V)
Su negación es:       ~ p: no es cierto que 4 x 5 = 20   (F)o se puede escribir: ~ p: 4 x 5 ≠ 20                          (F)
Simbólicamente: V( ~ p) = F

LA CONJUNCIÓN

Dadas las proposiciones p, q, se simboliza “p Ùq”  y se lee “p y q”, sólo es verdadero cuando ambos son verdaderos, en los demás casos siempre es falso.

p      q   p Ù q V     V      V V     F      F F     V      F F     F      F

Ejemplo:Sean las proposiciones:p: 7 es un número par                                                      (F)q: 7  es menor que 5                                                        (F)p Ù q: 7 es un número par y 7 es menor que 5                     (F)
Simbólicamente: V(p Ù q) = F
NOTA: En toda proposición, las palabras: “pero”, “sin embargo”, “además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez”, etc. Equivalen al conectivo  ” Ù “

LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p Ú q”  y se lee “p ó q”, sólo es falso cuando ambos son falsos, en los demás casos siempre es verdadero.

p      q p Ú q V     V V V     F V F     V V F     F F

Ejemplo:
Dadas las proposiciones:p: 4 < 7                                    (V)q: 4 = 7                                    (F)p Ú q: 4 < 7 ó 4 = 7                   (V)
Simbólicamente: V(p Ú q) = V

LA CONDICIONAL

Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p ® q” y se lee “si p entonces q” ó “p implica q” ó “p es suficiente para que q”, etc., sólo es falso cuando el primero es verdadero  y el segundo es falso, en los demás casos siempre es verdadero. ( p = antecedente   y    q = consecuente)

p      q p ® q V     V V V     F F F     V V F     F V

Ejemplo:p ® q : Si gano las elecciones entonces bajaré el precio de los combustibles
Ejemplo:
Sean las proposiciones:p: 3 es un número primo                                                            (V)q: 31 es un número par                                                                       (F)p ® q : si 3 es un número primo entonces 31 es un número   par               (F)
Simbólicamente: V(p ® q) = F

NOTA: En toda proposición las palabras:  “porque”, “puesto que”, “ya que”, “siempre que”, “cuando”, “si”, “cada vez que”, “dado que”, son conectivos que representan a la condicional. Se caracterizan porque después de cada uno de estos términos esta el antecedente
Ejemplo:
No jugué porque llegué tarde~p: no jugué           (consecuente)
q: llegué tarde                  (antecedente)Simbólicamente: q ® ~p

LA BICONDICIONAL

Dadas dos proposiciones p, q se escribe  “p « q” y se  lee “p si y  solo si q”, es  verdadero cuando los valores de verdad son  iguales y es falso cuando los dos valores de  verdad son diferentes.

p      q p  « q V     V V V     F F F     V F F     F V

Ejemplo:
Sean las proposiciones:p: 3 < 7                                                                         (V)q: 3 + 5 < 7 + 5                                                              (V)p « q: 3 < 7 si y solamente si 3 + 5 < 7 + 5                       (V)
Simbólicamente: V(p « q) = V

LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Dadas las proposiciones p,  q  se escribe “p D q” y se lee “o  bien p o bien q”,  es falso si los  valores de verdad de las proposiciones son iguales y es  verdadero si los valores de verdad  de las proposiciones  son diferentes.

p      q p   D  q V     V F V     F V F     V V F     F F

Ejemplo:Sean las proposiciones:p: 4 > 7                                                                (F)q: 4 < 7                                                                (V)p  D q: o bien 4 > 7 o bien 4 < 7                               (V)
Simbólicamente: V(p D q) = V